Kalkulus 1

Definisi 3.4.1.

Suatu fungsi $f$ dikatakan \textbf{kontinu} di $x=c$ apabila memenuhi syarat-syarat berikut:

$f(c)$ terdefinisi,
$\displaystyle \lim_{x\to c}f(x)$ ada,
$\displaystyle \lim_{x\to c}f(x)=f(c)$.

Definisi 3.4.2.

Suatu fungsi $f$ dikatakan kontinu pada selang tertutup $[a,b]$ jika memenuhi:

$f$ kontinu pada $(a,b)$,
$f$ kontinu dari kanan di $a$,
$f$ kontinu dari kiri di $b$.

Teorema 3.4.1.

Jika dua fungsi $f$ dan $g$ kontinu di $c$, maka

$f+g$ kontinu di $c$
$f-g$ kontinu di $c$
$fg$ kontinu di $c$
$f/g$ kontinu di $c$ jika $g(c)\neq0$ dan diskontinu di $c$ jika $g(c)=0$

Teorema 3.4.2.

Setiap polinomial selalu kontinu di mana-mana.
Setiap fungsi rasional kontinu di mana-mana kecuali di titik-titik yang membuat penyebutnya nol.

Teorema 3.4.3.

Jika $\displaystyle \lim_{x\to c}g(x)=L$ dan jika fungsi $f$ kontinu di $L$, maka $\displaystyle \lim_{x\to c}f(g(x))=f(L)$; yaitu $$\lim_{x\to c}f(g(x))=f\left(\lim_{x\to c}g(x)\right).$$ Hal ini masih berlaku jika $\displaystyle \lim_{x\to c}$ diganti dengan $\displaystyle \lim_{x\to c^-}$, $\displaystyle \lim_{x\to c^+}$, $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}$, atau $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}$.

Teorema 3.4.4.

Jika fungsi $g$ kontinu di $c$, dan fungsi $f$ kontinu di $g(c)$, maka komposisi $f\circ g$ kontinu di $c$.
Jika fungsi $g$ kontinu di mana-mana, dan fungsi $f$ kontinu di mana-mana, maka komposisi $f\circ g$ kontinu di mana-mana.

Teorema 3.4.5.(Teorema Nilai Antara)

Jika $f$ kontinu pada interval tertutup $[a,b]$ dan $k$ suatu bilangan di antara $f(a)$ dan $f(b)$, maka terdapat bilangan $x$ di dalam selang $[a,b]$ sehingga $f(x)=k$.

Teorema 3.4.6.

Jika $f$ kontinu pada $[a,b]$ dan jika $f(a)$ dan $f(b)$ tidak nol serta berlawanan tanda, maka sekurang-kurangnya ada satu penyelesaian dari persamaan $f(x)=0$ di dalam selang $(a,b)$.

Contoh 1

Misalkan diketahui $f$ dan $g$ fungsi-fungsi kontinu serta $\displaystyle \lim_{x\to 1^-} g(x)=-3$ dan $f(1)=-6$. Dapatkan:

$\displaystyle \lim_{x\to 1} f(x)$.
$\displaystyle \lim_{x\to 1} f(x)-2g(1)$.

Pembahasan

Diketahui $f$ dan $g$ fungsi-fungsi kontinu. $$\displaystyle \lim_{x\to 1^-} g(x)=\lim_{x\to 1^+} g(x)=\lim_{x\to 1} g(1)$$ $$\displaystyle \lim_{x\to 1^-} f(x)=\lim_{x\to 1^+} f(x)=\lim_{x\to 1} f(1)$$

$\displaystyle \lim_{x\to 1} f(x)=f(1)=-6$.
Dari poin (a), diketahui $\displaystyle \lim_{x\to 1} f(x)=-6$. Adapun $g(1)=\displaystyle \lim_{x\to 1^-} g(x)=-3$.
\begin{align*} \displaystyle \lim_{x\to 1} f(x)-2g(1)&=\lim_{x\to 1} f(x)-2\lim_{x\to 1}g(1)\\ &=-6-2\lim_{x\to 1}(-3)\\ &=-6-2(-3)\\ &=-6+6\\ \lim_{x\to 1} f(x)-2g(1)&=0 \end{align*}

Contoh 2 (ETS 2018/2019)

Diberikan $f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{x^3-8}{x-2},\quad x\neq 2\\ k,\quad x=2 \end{cases}$. Tentukan nilai $k$ sehingga $\displaystyle \lim_{x\to 2} f(x)=f(2)$.

Pembahasan

Akan ditentukan nilai $k$ sehingga $\displaystyle \lim_{x\to 2} f(x)=f(2)$. Pertama-tama, cari $\displaystyle \lim_{x\to 2} f(x)$ dan $f(2)$ secara terpisah untuk kemudian dibandingkan hasilnya. Untuk $x=2$, $f(x)=k$ sehingga $f(2)=k$. Untuk $x\neq2$, $f(x)=\displaystyle \frac{x^3-8}{x-2}$. Dengan demikian, $\displaystyle \lim_{x\to 2^-} f(x)=\lim_{x\to 2^+} f(x)=\lim_{x\to 2} f(x)=\lim_{x\to 2} \frac{x^3-8}{x-2}$. \begin{align*} \lim_{x\to 2} \frac{x^3-8}{x-2}&=\lim_{x\to 2} \frac{x^3-2^3}{x-2}\\ &=\lim_{x\to 2} \frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2}\\ &=\lim_{x\to 2} (x^2+2x+4)\\ &=2^2+2(2)+4\\ &=4+4+4\\ &=12 \end{align*} Diperoleh bahwa $\displaystyle \lim_{x\to 2} f(x)=12$. Agar $\displaystyle \lim_{x\to 2} f(x)=f(2)$, haruslah $k=12$.

Latihan!

ETS 2021/2022

Tentukan nilai $a$ dan $b$ agar fungsi $f(x)=\begin{cases} 2x-3a,\quad x<1\\ 5ax+2b,\quad 1\leq x \leq 2\\ 4x-6b,\quad x>2 \end{cases}$ kontinu di $x=1$ dan $x=2$.

Jawab:

Lihat Solusi

Akan di tentukan nilai $a$ dan $b$ agar $f(x)$ kontinu di $x=1$ dan $x=2$. Fungsi $f$ kontinu di $x=1$ bila memenuhi:

$f(1)$ terdefinisi.
$x=1$ termasuk dalam domain $[1,2]$ sehingga $f(1)=5a(1)+2b=5a+2b$.
$\displaystyle \lim_{x\to 1}f(x)$ ada.
Untuk $x$ mendekati $1$ dari kiri, $f(x)=2x-3a$.
$$\displaystyle \lim_{x\to 1^-}f(x)=2(1)-3a=2-3a$$ Untuk $x$ mendekati $1$ dari kanan, $f(x)=5ax+2b$.
$$\displaystyle \lim_{x\to 1^+}f(x)=5a(1)+2b=5a+2b$$ Agar limit ada, $\displaystyle \lim_{x\to 1^-}f(x)=\lim_{x\to 1^+}f(x)$.
$$2-3a=5a+2b\implies 8a+2b=2\implies 4a+b=1$$
$\displaystyle \lim_{x\to 1}f(x)=f(1)$.

Dengan demikian, agar $f$ kontinu di $x=1$, $a$ dan $b$ harus memenuhi $4a+b=1\dots(i)$. Fungsi $f$ kontinu di $x=2$ bila memenuhi:

$f(2)$ terdefinisi
$x=2$ termasuk dalam domain $[1,2]$ dengan $f(x)=5ax+2b$ sehingga $f(2)=5a(2)+2b=10a+2b$.
$\displaystyle \lim_{x\to 2}f(x)$ ada
Ketika $x$ mendekati $2$ dari kiri, maka $f(x)=5ax+2b$.
$$\displaystyle \lim_{x\to 2^-}f(x)=\lim_{x\to 2^-}(5ax+2b)=5a(2)+2b=10a+2b$$ Ketika $x$ mendekati $2$ dari kanan, maka $f(x)=4x-6b$.
$$\displaystyle \lim_{x\to 2^+}f(x)=\lim_{x\to 2^+}(4x-6b)=4(2)-6b=8-6b$$ Agar $\displaystyle \lim_{x\to 2}f(x)$ ada, $\displaystyle \lim_{x\to 2^-}f(x)=\displaystyle \lim_{x\to 2^+}f(x)$.
$$10a+2b=8-6b\implies 10a-4b=8\implies 5a-2b=4$$
$\displaystyle \lim_{x\to 2}f(x)=f(2)$

Dengan demikian, agar $f$ kontinu di $x=2$, $a$ dan $b$ harus memenuhi $5a-2b=4\dots(ii)$. Selanjutnya, nilai $a$ dan $b$ dicari melalui $2$ persamaan tersebut. Dari $(i)$, diperoleh $b=1-4a$. Selanjutnya, substitusi $b=1-4a$ ke persamaan $(ii)$. \begin{align*} 5a-2b&=4\\ 5a-2(1-4a)&=4\\ 5a-2+8a&=4\\ 13a&=6\\ a&=\frac{6}{13} \end{align*} Dengan demikian, $\displaystyle b=1-4\left(\frac{6}{13}\right)=1-\frac{24}{13}=-\frac{11}{13}$. Jadi, $\displaystyle a=\frac{6}{13}$ dan $\displaystyle b=-\frac{11}{13}$.

ETS 2020/2021

Diberikan $\displaystyle f(x)=\frac{x-2}{|x|-2}$.

Tentukan titik diskontinunya.
Selidiki apakah titik diskontinu tersebut dapat dihilangkan atau tidak dapat dihilangkan? Jika dapat dihilangkan, bagaimana caranya?

Jawab:

Lihat Solusi

Perhatikan bahwa $f$ tidak terdefinisi ketika $|x|-2=0\implies |x|=2$. Dengan definisi nilai mutlak, diperoleh bahwa $$|x|=\begin{cases} x,\quad x\geq0\\ -x,\quad x<0 \end{cases}.$$ Untuk $x\geq0$, $|x|=2\implies x=2$. Adapun untuk $x<0$, $|x|=2\implies -x=2\implies x=-2$. Dengan demikian, ditemukan $2$ titik diskontinu $f$, yaitu $x=-2$ dan $x=2$.
Dari poin (a), diperoleh bahwa $f$ memiliki $2$ titik diskontinu, yaitu $x=-2$ dan $x=2$. Akan dicek apakah titik diskontinu dapat dihilangkan atau tidak. $f$ diskontinu pada kedua titik tersebut karena $f$ tidak terdefinisi pada kedua titik tersebut. Perhatikan bahwa dengan definisi nilai mutlak, $f$ dapat ditulis menjadi $$f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{x-2}{x-2}=1,\quad x\geq0\\ \displaystyle \frac{x-2}{-x-2},\quad x<0 \end{cases}.$$ Syarat suatu fungsi $f$ kontinu di $x=c$ adalah:
1. $f(c)$ terdefinisi,
2. $\displaystyle \lim_{x\to c}f(x)$ ada,
3. $\displaystyle \lim_{x\to c}f(x)=f(c)$.
Untuk $x=-2$, titik diskontinu tidak dapat dihilangkan karena $$\lim_{x\to -2^-}f(x)=\lim_{x\to -2^-}\frac{x-2}{-x-2}=\lim_{x\to -2^-}\left(-1+\frac{4}{x+2}\right)=-\infty$$ $$\lim_{x\to -2^+}f(x)=\lim_{x\to -2^+}\frac{x-2}{-x-2}=\lim_{x\to -2^+}\left(-1+\frac{4}{x+2}\right)=+\infty$$ sehingga $\displaystyle \lim_{x\to -2}f(x)$ tidak ada. Adapun untuk $x=2$, $\displaystyle \lim_{x\to 2}f(x)=\lim_{x\to 2}\frac{x-2}{x-2}=1$. Dengan mendefinisikan $f(x)=1$ untuk $x=2$, titik diskontinu $x=2$ dapat dihilangkan. Kesimpulannya, titik diskontinu $x=-2$ tidak dapat dihilangkan dan titik diskontinu $x=2$ dapat dihilangkan dengan mendefinisikan $$f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{x-1}{|x|-2},\quad x\neq0\\ 1,\quad x=2 \end{cases}.$$

3.4 Kekontinuan

3.4
Kekontinuan